Optimizasyon ( Lagrange ( Lamda ) Sistemi )

Optimum tüketim bileşimini matematiksel olarak belirlerken tüketicinin iki mal tükettiğini varsayalım.

Tüketicinin sorunu;harcama ve fiyat kısıtları altında kendisine en çok faydayı sağlayacak mal bileşimini belirlemektir.Dolayısıyla,tüketicinin amacı elde edeceği faydayı en çoğa çıkarmak,yani maksimize etmektir.Ancak tüketici bu amacına ulaşırken belli kısıtlara tabidir.Tüketicinin bu karşı karşıya kaldığı kısıtlar,belirli bir harcama tutarı için oluşturulmuş bütçe denklemini ifade eder.

I=P₀.q₀ + P₁.q₁

İşte bu tür sınırlı optimizasyon problemlerinin çözümünde ilk amaç fonksiyonu ve kısıtlayıcı unsurların birleştirilmesi ile oluşturulan birleşik fonksiyonu optimum hale getirmek için Lagrange çözümü,tekniği kullanılır.Kısaca lagrange fonksiyonu;

• Amaç fonksiyonu ( fayda denklemi)
• Kısıt denklemi (sıfıra eşitlenecek bütçe denklemi)

bileşiminden oluşmaktadır.

Şimdi, iki mal bir tüketicinin optimum tüketim bileşimini belirlemek amacıyla lagrange fonksiyonu(L) oluşturalım;

Amaç fonksiyonu                        : U = f ( q₀ , q₁ )

Kısıt denklemi                             :  I=P₀.q₀ + P₁.q₁

(1. Aşama) Sıfıra eşitlenmiş kısıt denklemi  : I – P₀.q₀ - P₁.q₁ = 0

(2. Aşama) : λ (I – P₀.q₀ - P₁.q₁)=0            λ→Lagrange çarpanı

(3. Aşama) :      L = f ( q₀ , q₁ )+λ (I – P₀.q₀ - P₁.q₁)

Amaç, faydayı maksimize etmek olduğuna göre yapılacak iş, lagrange fonksiyonunu maksimum eden (q₀ , q₁) değerleri araştırmaktır. Bunun için öncelikle lagrange fonksiyonunun her bir değişkenine göre türev alınmalı ve türevler 0’a eşitlenmelidir.

(4. Aşama) = – λP₀ = MU₀ – λP₀ = 0 → λ=

= – λP₁ = MU₁ – λP₁ = 0 → λ=

= I – P₀.q₀ - P₁.q₁=0

Tüketicinin satın aldığı bir mal bileşiminin optimum olabilmesi için, her bir malın marjinal faydasının onun fiyatına olan oranı; bütün mallar itibariyle, birbirine eşit olmalıdır. Bu kural iktisatta, İkinci Gossen dağılımı (Eş Marjinal Fayda Kanunu) olarak adlandırılır.